Journée scientifique 2020 du GdR MaNu

Le GdR MaNu est dédié aux questions mathématiques liées à l'industrie nucléaire, plus particulièrement au fonctionnement et à la sûreté nucléaire de réacteurs à eau pressurisée du parc nucléaire français (thermohydraulique, mécanique des fluides, fission), ainsi qu'au stockage à long terme des déchets radioactifs en milieu géologique.

Cette journée scientifique remplace les rencontres initialement prévues et sera intégralement en version numérique.

• 10h00 — 10h10 : Clément Cancès, Nicolas Seguin et Olga Mula-Hernandez
  Introduction à la journée, bilan et perspectives du GdR
• 10h10 — 10h50 : Olga Mula-Hernandez
  Nonlinear reduced models for inverse problems
  In this talk, we will present an overview of recent works aiming at solving inverse problems (state and parameter estimation) by combining optimally measurement observations and parametrized PDE models. After defining a notion of optimal performance in terms of the smallest possible reconstruction error that any reconstruction algorithm can achieve, we will present practical numerical algorithms based on nonlinear reduced models for which we can prove that they can deliver a performance close to optimal.
  Présentation
• 11h00 — 11h40 : Konstantin Brenner
  Accélération de la méthode de Newton par le préconditionnement de Jacobi non linéaire
  On s'intéresse à la résolution du système d'équations algébriques avec une non-linéarité diagonale
      ß(u) + A u = b.
  Ce système est typiquement obtenu après une discrétisation d'une EDP parabolique ou elliptique non-linéaire, telle que, par exemple, une équation de Richards, une équation des milieux poreux ou encore une équation de Stefan. A condition que la fonction ß soit convexe (ou concave) et que le jacobien du système est une M-matrice, la convergence monotone et semi-globale de la méthode de Newton est garantie pour ce système. Cependant, pour les non-linéarités raides, la convergence de cette méthode peut devenir extrêmement lente. Je présenterai alors quelques techniques qui permettent d'accélérer la convergence de la méthode de Newton. Tout d'abord, on verra comment un simple changement de variable peut largement améliorer ces performances. Deuxièmement, je présenterai une procédure de préconditionnement non-linéaire inspirée de la méthode de Jacobi. On démontre que la méthode préconditionnée admet à nouveau une convergence semi-globale monotone.
  Présentation
• 11h50 — 12h30 : Giulia Lissoni
  Algorithmes de Schwarz sans recouvrement pour les équations de Navier-Stokes incompressibles avec discrétisation DDFV
  On s'intéresse aux algorithmes de décomposition de domaines de Schwarz (sans recouvrement) pour le problème de Navier-Stokes incompressible; on choisit de discrétiser le problème à l'aide de la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui permet de considérer des maillages généraux et de reconstruire à niveau discret les propriétés des opérateurs différentiels continus. On propose des conditions de transmissions appropriées entre sous-domaines pour la vitesse et la pression, qui nous permettent d'établir le caractère bien posé des schémas proposés et la convergence des algorithmes itératifs. On montre comment les flux numériques influencent le problème asymptotique, qui est censé être une discrétisation des équations de Navier-Stokes sur le domaine de calcul entier. Pour terminer, on étudie le comportement de l'algorithme à l'aide de tests numériques.
  Présentation
• Pause déjeuner
• 14h00 — 14h40 : Philippe Helluy
  CFL-less explicit schemes for conservation laws based on a kinetic approach
  By a combination of well-established mathematical techniques, it is possible to construct a general numerical method for solving any hyperbolic system of conservation laws with the following interesting features: time-explicit, unconditionally stable, accepting unstructured arbitrary meshes, of arbitrary order and naturally parallel. The scheme can be made entropy preserving or entropy dissipative, depending on the needed features. We give an overview of the construction of the method.
  Présentation
• 14h50 — 15h30 : Bérénice Grec
  A numerical scheme for a kinetic model for mixtures in the diffusive limit using the moment method
  In this talk, we consider a multi-species kinetic model in a one-dimensional setting with a diffusive scaling. More precisely, assuming that both Knudsen and Mach numbers of order ε > 0, we can write, for each species, the Boltzmann equation for mixtures on the distribution functions. For each species, macroscopic quantities, such as its concentration ci and its flux ciui, can be obtained as the first moments of its distribution function. Formally, it has been proved that the moments of the solutions to the Boltzmann equation for mixtures converge to (ci,ciui) solutions of the Maxwell-Stefan equations when ε tends to zero, in the equimolar diffusion setting. This formal convergence is obtained by the moment method ([Levermore, JSP'96]), relying on an ansatz on the distribution functions that they are at local Maxwellian states with different macroscopic velocities of order ε. In the context of kinetic equations for mixtures, previous approaches such as [Jin, Li, NMPDE'13] are not adapted to the diffusive scaling we are dealing with. We therefore propose a new numerical scheme, mimicking the analytical analysis (moment method), approximating the solutions of the kinetic model both in a rarefied regime and in the diffusion limit. We prove some a priori estimates (mass conservation and nonnegativity), as well as existence of a solution to the numerical scheme. We also present numerical simulations illustrating the asymptotic-preserving behavior of the scheme, and its capacity to describe uphill diffusion phenomena for mixtures. This is a joint work with A. Bondesan and L. Boudin.
  Présentation
• 15h40 — 16h20 : Jean-Marc Hérard
  Une approche de modélisation des écoulements multiphasiques
  On présente une approche de modélisation des écoulements multiphasiques à phases compressibles, pour des composants totalement immiscibles, puis en configuration hybride miscible / immiscible. On commence par décrire une classe pour les écoulements compressibles en configuration barotrope, puis une seconde tenant compte des échanges d’énergie. Le cahier des charges utilisé pour la construction des modèles permet de réduire les lois de fermeture à quatre échelles de temps de relaxation par liaison. On donne les principales propriétés des modèles ainsi obtenus, et on commente certains aspects spécifiques. Les aspects numériques ne sont pas abordés, mais quelques exemples de simulations sont fournis (impact d’une onde de choc sur un lit de gouttes / simulation de type explosion vapeur). Une bibliographie complète l’ensemble.
  Présentation

Responsable : Clément Cancès           Responsable adjoint : Nicolas Seguin